Die partiellen Ableitungen der Funktion sind
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und
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Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines lokalen Extremums ist, dass der Gradient ist. Aus
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folgt sofort
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also und daraus
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Es kann also allenfalls im Punkt
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ein lokales Extremum vorliegen.
Die Hesse-Matrix der Funktion ist
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Der Eintrag links oben ist also negativ und die Determinante ist positiv. Daher ist die Hesse-Matrix negativ definit und somit liegt in
ein lokales Maximum vor. Da es sonst kein weiteres lokales Extremum gibt, ist dieses Maximum isoliert und global.