Extrema/Knopfloch/Umrundung/Aufgabe/Lösung

${}f(x,y)=3000-{\frac {1}{1000}}x^{2}-{\frac {1}{1000}}y^{2}+{\frac {1}{100}}x\,$

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=-{\frac {1}{500}}x+{\frac {1}{100}}\,$

   und

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=-{\frac {1}{500}}y\,.$

   Der einzige kritische Punkt liegt daher in

   $\left(5,\,0\right)$

   vor. Die Hesse-Matrix ist in jedem Punkt gleich

   ${\begin{pmatrix}-{\frac {1}{500}}&0\\0&-{\frac {1}{500}}\end{pmatrix}},$

   daher ist die Hesse-Form nach dem Minorenkriterium negativ definit und es liegt nach Fakt in ${}(5,0)$ ein lokales Maximum vor, das auch ein globales Maximum sein muss. Die Höhe in diesem Gipfel ist

   ${}{\begin{aligned}f(5,0)&=3000-{\frac {1}{1000}}\cdot 5^{2}+{\frac {1}{100}}\cdot 5\\&=3000+{\frac {-25+50}{1000}}\\&=3000,025.\end{aligned}}$

2. Der Rundgang wird durch

   $[0,2\pi \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(1000\cos t,\,1000\sin t\right),$

   parametrisiert. Das Höhenprofil längs dieses Weges wird somit durch die Funktion

   ${}{\begin{aligned}h(t)&=f(\left(1000\cos t,\,1000\sin t\right))\\&=3000-{\frac {1}{1000}}{\left(1000^{2}\cos ^{2}t+1000^{2}\sin ^{2}t\right)}+10\cos t\\&=2000+10\cos t\end{aligned}}$

   beschrieben, wobei wir die Kreisgleichung verwendet haben. Es ist

   ${}h'(t)=-10\sin t\,$

   und

   ${}h^{\prime \prime }(t)=-10\cos t\,.$

   Die kritischen Punkte sind bei ${}t=0$ und bei ${}t=\pi$, wobei in ${}t=0$ das globale Maximum längs des Weges mit dem Wert

   ${}h(0)=2010\,$

   und in ${}t=\pi$ das globale Minimum längs des Weges mit dem Wert

   ${}h(\pi )=1990\,$

   vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe