Extrema/R^2/Lineares lokales Minimum/Kein lokales Minimum/Tangentiale Kreise/Beispiel

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(0,1)$ und Radius ${}1$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(0,2)$ und Radius ${}2$ habe. ${}K_{1}$ liegt innerhalb von ${}K_{2}$, und die beiden Kreise berühren sich in ${}P=(0,0)$. Durch diese beiden Kreise wird die Ebene (neben den zwei Kreislinien selbst) in drei offene Gebiete aufgeteilt: Das Innere des Kreises ${}K_{1}$ (${}=A$), die große offene Kreisscheibe ohne die kleine abgeschlossene Kreisscheibe (${}=B$) und das Äußere von ${}K_{2}$ (${}=C$). Der innere Kreis ${}K_{1}$ wird als Nullstelle der Funktion

${}f_{1}(x,y)=x^{2}+(y-1)^{2}-1\,$

beschrieben. Im Innern von ${}K_{1}$ ist diese Funktion negativ, auf ${}K_{1}$ hat sie den Wert ${}0$ und außerhalb davon hat sie positive Werte. Entsprechendes gilt für ${}K_{2}$ und die Funktion ${}f_{2}(x,y)=x^{2}+(y-2)^{2}-4$. Wir setzen

${}{\begin{aligned}f(x,y)&:=f_{1}(x,y)\cdot f_{2}(x,y)\\&={\left(x^{2}+(y-1)^{2}-1\right)}\cdot {\left(x^{2}+(y-2)^{2}-4\right)}\\&={\left(x^{2}+y^{2}-2y\right)}\cdot {\left(x^{2}+y^{2}-4y\right)}\\&=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-6y^{3}-6x^{2}y+8y^{2}.\end{aligned}}$

Diese Funktion nimmt auf den beiden Kreisen den Wert ${}0$ an, sie ist auf ${}A$ positiv, auf ${}B$ negativ und auf ${}C$ wieder positiv.

Die Funktion ${}f$ besitzt in ${}P$ kein lokales Minimum, da sie dort den Wert ${}0$ besitzt und da jede beliebig kleine Ballumgebung ${}U{\left(P,\epsilon \right)}$ den Bereich ${}B$ trifft, wo ${}f$ negative Werte besitzt. Die Einschränkung der Funktion auf jede Gerade durch den Nullpunkt besitzt aber dort ein lokales Minimum. Es sei dazu ${}G$ eine solche Gerade. Wenn ${}G$ die ${}x$-Achse ist, so verläuft diese Gerade (bis auf ${}P$ selbst) in ${}C$, wo ${}f$ nur positive Werte annimmt, sodass in ${}P$ ein (sogar globales) Minimum vorliegt. Es sei also ${}G$ eine von der ${}x$-Achse verschiedene Gerade durch ${}P$. Die eine Hälfte der Geraden verläuft ganz in ${}C$, wo die Funktion positiv ist. Die andere Hälfte verläuft, ausgehend von ${}P$, zuerst in ${}A$, dann in ${}B$ und schließlich wieder in ${}C$. Da die Funktion auf ${}A$ positiv ist, kann man ein Teilintervall ${}[-\delta ,\delta ]$ der Geraden derart wählen, dass dieses Teilstück (abgesehen von ${}P$) nur in ${}A$ und ${}C$ verläuft. Auf diesem Teilintervall nimmt die Funktion in ${}P$ den Wert ${}0$ und sonst überall positive Werte an. Daher besitzt die eingeschränkte Funktion ein lokales Minimum. Das dabei zu wählende ${}\delta$ hängt natürlich wesentlich von der Steigung der Geraden ab, es gibt kein gemeinsames ${}\delta$ für alle Geraden.