Extrema/Sinus x mal Kosinus y/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\left(\cos x\right)}{\left(\cos y\right)}\,

und

{}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-{\left(\sin x\right)}{\left(\sin y\right)}\,.

Damit beide partiellen Ableitung gleich ${}0$ sind, muss

{}x={\frac {\pi }{2}}+m\pi \,

und

{}y=n\pi \,

mit ${}m,n\in \mathbb {Z}$ oder dasselbe mit vertauschten Rollen sein. Die kritischen Punkte sind also

\left({\frac {\pi }{2}}+m\pi ,\,n\pi \right)\,\,{\text{  und }}\,\,\left(m\pi ,\,{\frac {\pi }{2}}+n\pi \right).

Die Hesse-Matrix ist

{\begin{pmatrix}-{\left(\sin x\right)}{\left(\cos y\right)}&-{\left(\cos x\right)}{\left(\sin y\right)}\\-{\left(\cos x\right)}{\left(\sin y\right)}&-{\left(\sin x\right)}{\left(\cos y\right)}\end{pmatrix}}.

Bei einem Punkt der linken Art ist dies bei ${}m,n$ beide gerade oder beide ungerade ist dies

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

und es liegt nach Fakt ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert ${}-1$ vor und bei ${}m$ gerade und ${}n$ ungerade oder umgekehrt ist dies

{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

und es liegt ein isoliertes lokales Maximum mit dem Wert ${}1$ vor. Diese lokalen Extrema sind auch global, da die Funktionswerte in ${}[-1,1]$ sind.

Bei einem Punkt der rechten Art ist die Hesse-Matrix gleich

{\begin{pmatrix}0&\pm 1\\\pm 1&0\end{pmatrix}}

vor. In beiden Fällen ist die Hesse-Form indefinit und es liegt kein lokales Extremum vor.