Extrema/x^2+y^2+Polynom/Keine Differentialrechnung/Aufgabe/Lösung

Für jedes ${}(r_{1},r_{2})$ mit ${}r_{1}+r_{2}\geq 3$ und ${}(x,y)\neq 0$ ist

${}{\begin{aligned}\vert {\frac {x^{r_{1}}y^{r_{2}}}{x^{2}+y^{2}}}\vert &={\frac {\vert {x}\vert ^{r_{1}}\vert {y}\vert ^{r_{2}}}{\Vert {(x,y)}\Vert ^{2}}}\\&\leq {\frac {\Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{1}}\Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{2}}}{\Vert {(x,y)}\Vert ^{2}}}\\&={\frac {\Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{1}+r_{2}}}{\Vert {(x,y)}\Vert ^{2}}}\\&\leq \Vert {(x,y)}\Vert ^{r_{1}+r_{2}-2}\\&\leq \Vert {(x,y)}\Vert ,\end{aligned}}$

wobei die letzte Abschätzung für Punkte mit ${}\Vert {(x,y)}\Vert \leq 1$ gilt. Es seien ${}k$ Koeffizienten ${}\neq 0$ und es sei ${}a$ das Maximum der Beträge der ${}a_{(r_{1},r_{2})}$. Wir setzen

${}\epsilon :=\operatorname {min} ({\frac {1}{ka}},1)\,.$

Dann ist für ${}(x,y)\neq (0,0)$ mit ${}\Vert {(x,y)}\Vert <\epsilon$

${}{\begin{aligned}{\frac {f(x,y)}{x^{2}+y^{2}}}&=1+\sum _{(r_{1},r_{2}),\,r_{1}+r_{2}\geq 3}a_{(r_{1},r_{2})}{\frac {x^{r_{1}}y^{r_{2}}}{x^{2}+y^{2}}}\\&\geq 1-\sum _{(r_{1},r_{2}),\,r_{1}+r_{2}\geq 3,\,a_{(r_{1},r_{2})}\neq 0}a{\frac {\vert {x^{r_{1}}y^{r_{2}}}\vert }{x^{2}+y^{2}}}\\&=1-ka\Vert {(x,y)}\Vert \\&>0.\end{aligned}}$

Insbesondere liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert ${}0$ vor.

Zur gelösten Aufgabe