Extrema/x^3-y^3/Kreis/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}=3x^{2}\,$

   und

   ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}=-3y^{2}\,.$

   Diese beiden Funktionen sind nur im Punkt ${}(0,0)$ gleich ${}0$, also ist ${}(0,0)$ der einzige kritische Punkt.

2. Wegen (1) kann allenfalls im Nullpunkt ${}(0,0)$ ein lokales Extremum vorliegen. Wenn dort ein lokales Extremum vorliegen würde, so hätte auch die Einschränkung auf eine jede Gerade durch den Nullpunkt dort ein lokales Extremum. Auf der durch ${}y=0$ gegebenen Geraden ist die eingeschränkte Funktion gleich ${}x^{3}$, und diese ist streng wachsend und besitzt kein lokales Extremum.
3. Der Einheitskreis wird durch

   $\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \left(\cos t,\,\sin t\right),$

   parametrisiert, und ${}g$ besitzt ein lokales Extremum in einem Punkt ${}P=\left(\cos t,\,\sin t\right)\in S^{1}$ genau dann, wenn ${}h=g\circ \varphi$ ein lokales Extremum in ${}t$ besitzt. Die zusammengesetzte Funktion ist

   $h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto \cos ^{3}t-\sin ^{3}t.$

   Es ist

   ${}{\begin{aligned}h'(t)&=-3\cos ^{2}t\sin t-3\sin ^{2}t\cos t\\&=-3\cos t\sin t{\left(\cos t+\sin t\right)}.\end{aligned}}$

   Die Nullstellen hiervon sind (wir beschränken uns auf das Intervall ${}[0,2\pi [$, und betrachten die drei Faktoren) ${}t=0,{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{4}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}},{\frac {7\pi }{4}}$. Es ist

   ${}{\begin{aligned}h^{\prime \prime }(t)&=6\cos t\sin ^{2}t-3\cos ^{3}t-6\cos ^{2}t\sin t+3\sin ^{3}t\\\end{aligned}}$

   Daher ist

   ${}h^{\prime \prime }(0)=-3<0\,,$

   ${}h^{\prime \prime }{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}=3>0\,,$

   ${}h^{\prime \prime }{\left({\frac {3\pi }{4}}\right)}=-6\sin ^{3}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)<0\,,$

   ${}h^{\prime \prime }(\pi )=3>0\,,$

   ${}h^{\prime \prime }{\left({\frac {3\pi }{2}}\right)}=-3<0\,,$

   ${}h^{\prime \prime }{\left({\frac {7\pi }{4}}\right)}=-6\sin ^{3}\left({\frac {7\pi }{4}}\right)>0\,.$

   Somit liegt in ${}t=0$ ein lokales Maximum und dann abwechselnd lokale Minima und Maxima vor.

Zur gelösten Aufgabe