Extrema/xz durch x^2+y^2/Aufgabe/Lösung

a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ${}f$ ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {z(x^{2}+y^{2})-2x^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,$

und

${}{\frac {\partial }{\partial z}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,.$

Der Gradient zu ${}f$ in einem Punkt ${}P=(x,y,z)$ ist demnach der Vektor

${}\operatorname {Grad} \,f(P)=\left({\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,.$

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ${}0$ ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei ${}x=0$ der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls ${}0$ und wegen ${}y>0$ folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass ${}z=0$ sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form ${}(0,y,0)$ geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert ${}0$, sodass es kein isoliertes Extremum gibt.

Zur gelösten Aufgabe