Extrema mit Nebenbedingung/Hyperfläche/Rekapitulation/Motivation/Bemerkung

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Wir rekapitulieren den Satz über lokale Extrema mit Nebenbedingungen in dieser Situation, vergleiche Fakt (mit anderer Notation). Dabei gibt es neben der Funktion ${}h$, die ${}Y$ und damit de Nebenbedingung festlegt, eine weitere in einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}Y$ definierte reellwertige Funktion ${}f$, und man interessiert sich für lokale Extrema von ${}f$, allerdings nicht auf ganz ${}U$, was man mit dem Gradienten und der Hesse-Matrix untersucht, sondern nur auf ${}Y$. Man möchte beispielsweise die maximale Temperatur auf der Oberfläche eines Körpers finden und dabei ignorieren, dass er im Innern wärmer ist. Der angeführte Satz besagt jedenfalls, dass, wenn ${}f$ stetig differenzierbar ist und ein lokales Extremum in einem Punkt ${}P\in Y$ unter der Nebenbedingung ${}Y$ besitzt, dass dann der Gradient ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ein Vielfaches des Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,h(P)$ ist. Dieses Differenzierbarkeitskriterium nimmt Bezug auf den umgebenden Raum, und zwar sowohl in die Sinn, dass die Differenzierbarkeit Bezug auf den umgebenden Raum nimmt, als auch in dem Sinn, dass die zu vergleichenden Gradienten in den umgebenden Raum hineinragen.