Extrema von y auf Graph/Aufgabe/Lösung

a) Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \Gamma ,\,x\longmapsto (x,g(x)),$

ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung

${}g=y\circ \varphi \,.$

In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von ${}y$ und von ${}y\circ \varphi$ ineinander.

b) Den Graphen ${}\Gamma$ kann man als Faser zur Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y-g(x),$

über ${}0$ auffassen. Wenn die Linearform

${}h(x,y)=y\,$

auf dieser Faser in einem Punkt ${}P=(a,g(a))$ ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass ${}\left(Df\right)_{P}=(-g'(a),1)$ und ${}\left(Dy\right)_{P}=(0,1)$ linear abhängig sind. Dies ist genau bei

${}g'(a)=0\,$

der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass ${}g$ in ${}a$ ein lokales Extremum besitzt.

c) Wir setzen

${}f(x,y)=y-x^{3}\,$

und

${}h(x,y)=y\,$

(wir arbeiten also mit ${}g(x)=x^{3}$ und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an). Die totalen Differentiale sind dann ${}\left(Df\right)_{P}=(-3x^{2},1)$ und ${}\left(Dy\right)_{P}=(0,1)$. Im Punkt ${}P=(0,0)$ liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion ${}y$ hat aber auf der zugehörigen Faser (das ist der Graph zu ${}x^{3}$)

kein lokales Extremum, was wegen a) daraus folgt, dass die Funktion ${}x^{3}$ kein lokales Extremum besitzt.

Zur gelösten Aufgabe