Extrema von y auf Graph/Aufgabe/Lösung

a) Die Abbildung

ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung

In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von und von ineinander.

b) Den Graphen kann man als Faser zur Abbildung

über auffassen. Wenn die Linearform

auf dieser Faser in einem Punkt ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass und linear abhängig sind. Dies ist genau bei

der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass in ein lokales Extremum besitzt.

c) Wir setzen

und

(wir arbeiten also mit und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an). Die totalen Differentiale sind dann und . Im Punkt liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion hat aber auf der zugehörigen Faser (das ist der Graph zu )

kein lokales Extremum, was wegen a) daraus folgt, dass die Funktion kein lokales Extremum besitzt.