Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe/Lösung


  1. Mit gehören auch zu . Das Element erfüllt die Gleichung

    Da linear unabhängig über sind, handelt es sich um das Minimalpolynom. Also gilt

  2. Unter dem durch wird auf abgebildet, dieses Element gehört also nicht zu .
  3. Wir behaupten

    Dabei ist die Inklusion klar. Sei . Das Element gehört zum Unterring genau dann, wenn und gilt, da diese Bedingungen die Invarianz unter dem Automorphismus ausdrücken. Wir schreiben

    Der linke Summand gehört zu , daher gehört genau dann zu , wenn der rechte Summand zu gehört. Daraus folgt aber, dass ein Vielfaches von sein muss.