Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung


  1. Es ist

    somit ist

    Da eine quadratische Erweiterung von definiert, und den Grad besitzt, handelt es sich um das Minimalpolynom.

  2. Die Automorphismen auf rühren von den Körperautomorphismen auf her, und diese ergeben sich durch Einschränken aus den Körperautomorphismen auf dem Kreisteilungskörper. Diese sind die Identität, die Abbildung ergibt die Zuordnung . Diese nennen wir . Die Hintereinanderschaltung ist
    die Hintereinanderschaltung ist
  3. Das Element ist eine Einheit, da der konstante Term im Minimalpolynom (also die Norm) eine Einheit ist.
  4. Da reell ist, liegt eine reelle Galoiserweiterung vom Grad vor, deshalb ist die Einheitengruppe gleich .