Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\left(X+X^{-1}\right)}^{4}=X^{4}+4X^{2}+6+4X^{-2}+X^{-4}\,,$

   ${}{\left(X+X^{-1}\right)}^{3}=X^{3}+3X+3X^{-1}+X^{-3}\,,$

   ${}{\left(X+X^{-1}\right)}^{2}=X^{2}+2+X^{-2}\,,$

   somit ist

   ${}Y^{4}-Y^{3}-4Y^{2}+4Y+1={\left(X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1\right)}X^{-4}=0\,.$

   Da ${}X$ eine quadratische Erweiterung von ${}\mathbb {Q} [X+X^{-1}]$ definiert, und ${}K_{15}$ den Grad ${}8$ besitzt, handelt es sich um das Minimalpolynom.

2. Die Automorphismen auf ${}R$ rühren von den Körperautomorphismen auf ${}Q(S)$ her, und diese ergeben sich durch Einschränken aus den Körperautomorphismen auf dem Kreisteilungskörper. Diese sind die Identität, die Abbildung ${}X\mapsto X^{2}$ ergibt die Zuordnung ${}Y=X+X^{-1}\mapsto X^{2}+X^{-2}=Y^{2}-2$. Diese nennen wir ${}\varphi$. Die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{2}$ ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi (\varphi (Y))&=\varphi (Y^{2}-2)\\&=(Y^{2}-2)^{2}-2\\&=Y^{4}-4Y^{2}+2\\&={\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-4Y^{2}+2\\&=Y^{3}-4Y+1,\end{aligned}}$

   die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$ ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi (\varphi ^{2}(Y))&=\varphi (Y^{3}-4Y+1)\\&=(Y^{2}-2)^{3}-4(Y^{2}-2)+1\\&=Y^{6}-6Y^{4}+12Y^{2}+8-4Y^{2}+9\\&=Y^{2}{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-6{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}+8Y^{2}+17\\&=Y^{5}+4Y^{4}-10Y^{3}-17Y^{2}+24Y+23\\&={\left(Y+4\right)}{\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-10Y^{3}-17Y^{2}+24Y+23\\&={\left(Y^{3}+4Y^{2}-4Y-1\right)}-2Y^{3}-5Y^{2}+7Y+19\\&=-Y^{3}-Y^{2}+3Y+18.\end{aligned}}$

3. Das Element ${}Y$ ist eine Einheit, da der konstante Term im Minimalpolynom (also die Norm) eine Einheit ist.
4. Da ${}X+X^{-1}=X+{\overline {X}}$ reell ist, liegt eine reelle Galoiserweiterung vom Grad ${}4$ vor, deshalb ist die Einheitengruppe gleich ${}\{\pm 1\}\times \mathbb {Z} ^{3}$.

Zur gelösten Aufgabe