F(x,y)/Zweimal stetig differenzierbar/Gemischte Ableitung 0/Summe/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$

${}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}\varphi (P)=0\,$

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass

${}\varphi (x,y)=f(x)+g(y)\,$

gilt.

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