F2/Invertierbare Matrizen/2/Selbstinvers/Aufgabe/Lösung

1. Die Matrizeneinträge sind ${}0$ oder ${}1$. Wenn die ${}1$ kein- oder einmal vorkommt, so kommt eine Nullzeile vor und die Matrix ist nicht invertierbar. Wenn die ${}1$ zweimal vorkommt, so darf die ${}1$ nicht in der gleichen Zeile stehen. Dies ergibt die invertierbaren Matrizen

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

   Wenn dreimal die ${}1$ vorkommen soll, so erhält man die invertierbaren Matrizen

   ${\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

   Bei vier Einsen liegt eine nichtinvertierbare Matrix vor.

2. Die Einheitsmatrix ${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ und die Vertauschungsmatrix ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ sind selbstinvers. Wir rechnen

   ${}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,$

   ${}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

   ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}\,.$

   Somit sind auch ${}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ selbstinvers.

Zur gelösten Aufgabe