Faktorieller Bereich/Quotientenkörper/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben

${}f={\frac {a}{b}}\,$

mit von ${}0$ verschiedenen Elementen ${}a,b\in R$. Die Primfaktorzerlegungen dieser Elemente seien ${}a=u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}$ und ${}b=u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}$, wobei die ${}p_{i}$ nicht untereinander assoziiert seien, ${}m_{i},k_{i}\in \mathbb {N} _{\geq 0}$ und ${}u_{1},u_{2}$ Einheiten sind. Dann ist

${}{\frac {a}{b}}={\frac {u_{1}p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}}}{u_{2}p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}}}}=u_{1}u_{2}^{-1}p_{1}^{m_{1}-k_{1}}\cdots p_{n}^{m_{n}-k_{n}}\,$

eine Darstellung der gewünschten Art. Wenn zwei Darstellungen

${}up_{1}^{r_{1}}\cdots p_{n}^{r_{n}}=f=vp_{1}^{s_{1}}\cdots p_{n}^{s_{n}}\,$

gegeben sind, so erhält man durch Multiplikation mit ${}(p_{1}\cdots p_{n})^{t}$ für hinreichend großes ${}t$, dass links und rechts alle Exponenten positiv werden. Aus der Faktorialität folgt daraus ${}r_{i}=s_{i}$ für alle ${}i$ und damit auch ${}u=v$.

Zur bewiesenen Aussage