Faktorieller Ring/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt

Es sei ${}R$ ein faktorieller Ring und seien ${}a$ und ${}b$ Elemente ${}\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen

$a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\text{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$

(wobei die ${}u,v$ Einheiten sind, die verschiedenen Primelemente nicht assoziiert sind und die Exponenten auch ${}0$ sein können). Dann gilt ${}a{|}b$ genau dann, wenn ${}r_{i}\leq s_{i}$ für alle Exponenten ${}i=1,\ldots ,k$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen