Fakultät/Grobe Abschätzung nach oben/Induktion/Aufgabe/Lösung

Für ${}n=3$ ist

{}{\left({\frac {3}{4}}\cdot 3\right)}^{3}={\left({\frac {9}{4}}\right)}^{3}>8>3!\,.

Es ist

{}{\begin{aligned}{\left({\frac {3}{4}}(n+1)\right)}^{n+1}&={\left({\frac {3}{4}}(n+1)\right)}^{n}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot (n+1)\\&={\left({\frac {3}{4}}n\right)}^{n}\cdot {\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot (n+1).\end{aligned}}

Der Ausdruck

{}{\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}\cdot {\frac {3}{4}}\geq 1\,,

da ja ${}{\left({\frac {n+1}{n}}\right)}^{n}$ wachsend gegen ${}e$ konvergiert. Somit ist

{}{\begin{aligned}(n+1)!&=(n+1)\cdot n!\\&\leq (n+1)\cdot {\left({\frac {3}{4}}n\right)}^{n}\\&\leq {\left({\frac {3}{4}}(n+1)\right)}^{n+1}.\end{aligned}}