Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}(n!)^{2}=(n!)(n!)=n\cdot (n-1)!\cdot n!\,$

   und

   ${}(n-1)!(n+1)!=(n-1)!\cdot (n+1)n!=(n+1)(n-1)!\cdot n!\,.$

   Daher ist ${}(n-1)!\cdot n!$ ein gemeinsamer Teiler der beiden Zahlen. Die beiden anderen Faktoren, also ${}n$ bzw. ${}n+1$ sind teilerfremd, da ihr Abstand ${}1$ ist. Somit tragen diese Faktoren nicht zum größten gemeinsamen Teiler bei und daher ist der größte gemeinsame Teiler gleich ${}(n-1)!\cdot n!$.

2. Nach Fakt und Teil (1) ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen gleich

   ${}{\frac {(n!)(n!)(n-1)!(n+1)!}{(n-1)!\cdot n!}}=(n!)(n+1)!\,.$

Zur gelösten Aufgabe