Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Fakt. Es sei vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge mit

für alle endlichen Teilmengen  mit . Es gibt eine endliche Teilmenge derart, dass

ist. Wir behaupten, dass dieses für die Familie  , , die Summationseigenschaft für erfüllt. Sei dazu  mit endlich und . Da die Familien  , , summierbar mit den Summen sind, gibt es für jedes ein endliches mit

für alle endlichen  mit . Wir wählen nun für jedes ein solches so, dass zusätzlich gilt. Dann ist und daher . Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen