Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Summierbarkeit der Teilfamilien folgt aus Fakt. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da die Ausgangsfamilie summierbar ist, gibt es eine endliche Teilmenge ${}E_{0}\subseteq I$ mit

${}\vert {a_{E}-s}\vert \leq \epsilon /2\,$

für alle endlichen Teilmengen ${}E\subseteq I$ mit ${}E_{0}\subseteq E$. Es gibt eine endliche Teilmenge ${}F_{0}\subseteq J$ derart, dass

${}E_{0}\subseteq \bigcup _{j\in F_{0}}I_{j}\,$

ist. Wir behaupten, dass dieses ${}F_{0}$ für die Familie ${}s_{j}$ , ${}j\in J$, die Summationseigenschaft für ${}\epsilon$ erfüllt. Es sei dazu ${}F\subseteq J$ mit ${}F_{0}\subseteq F$ endlich und ${}n={\#\left(F\right)}$. Da die Familien ${}a_{i}$ , ${}i\in I_{j}$, summierbar mit den Summen ${}s_{j}$ sind, gibt es für jedes ${}j\in F$ ein endliches ${}G_{j,0}\subseteq I_{j}$ mit

${}\vert {a_{G_{j}}-s_{j}}\vert \leq \epsilon /2n\,$

für alle endlichen ${}G_{j}\subseteq I_{j}$ mit ${}G_{j,0}\subseteq G_{j}$. Wir wählen nun für jedes ${}j\in F$ ein solches ${}G_{j}$ so, dass zusätzlich ${}E_{0}\cap I_{j}\subseteq G_{j}$ gilt. Dann ist ${}E_{0}\subseteq E:=\bigcup _{j\in F}G_{j}$ und daher ${}\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert =\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \leq \epsilon /2$. Somit haben wir insgesamt die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {\sum _{j\in F}s_{j}-s}\vert &=\vert {\sum _{j\in F}{\left(s_{j}-a_{G_{j}}\right)}+\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq \sum _{j\in F}\vert {s_{j}-a_{G_{j}}}\vert +\vert {\sum _{j\in F}a_{G_{j}}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\vert {\sum _{i\in E}a_{i}-s}\vert \\&\leq n\cdot \epsilon /2n+\epsilon /2\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage