Faser/(x,y,z) nach (x^2+y^2+z^2,2x+3y+4z)/(1,-2,1)/Reguläre Punkte, Tangentialraum/Aufgabe/Lösung

a) Die Jacobi-Matrix der Abbildung ist

${}J={\begin{pmatrix}2x&2y&2z\\2&3&4\end{pmatrix}}\,.$

Diese Matrix besitzt maximalen Rang, wenn die erste Zeile kein Vielfaches der zweiten Zeile ist. Die Bedingung lautet also

$(x,y,z)=s(2,3,4),\,s\in \mathbb {R} .$

D.h. die singulären Punkte der Abbildung sind die Punkte der von ${}(2,3,4)$ erzeugten Geraden. Der Punkt ${}P=(1,-2,1)$ gehört nicht zu dieser Geraden, da ${}s(2,3,4)=(1,-2,1)$ keine Lösung besitzt.

b) Der Tangentialraum an ${}F$ in ${}P$ ist der Kern des totalen Differentials, also der Kern von

$J={\begin{pmatrix}2&-4&2\\2&3&4\end{pmatrix}}.$

Zur Bestimmung des Kerns muss man also das lineare Gleichungssystem

${\begin{pmatrix}2&-4&2\\2&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}=0$

lösen. Durch Subtraktion der beiden Zeilen folgt ${}7b+2c=0$ und daher ist der Tangentialraum gleich der Geraden

$\{t(-11,-2,7),\,t\in \mathbb {R} \}.$

c) Der Punkt ${}P=(1,-2,1)$ wird unter der Abbildung ${}\varphi$ auf ${}(6,0)$ abgebildet. Die Faser darüber wird durch die beiden Gleichungen

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=6{\text{ und }}2x+3y+4z=0$

beschrieben. Wir lösen die lineare Gleichung nach ${}x$ auf und setzen das Ergebnis

$x={\frac {-3y-4z}{2}}$

in die quadratische Gleichung ein. Das ergibt

${\frac {9y^{2}+16z^{2}+24yz}{4}}+y^{2}+z^{2}=6$

bzw.

$13y^{2}+20z^{2}+24yz-24=0.$

Wir lösen dies nach ${}z$ auf und erhalten zunächst

$z^{2}+{\frac {6}{5}}yz+{\frac {13}{20}}y^{2}-{\frac {6}{5}}=0$

und durch quadratisches Ergänzen

$(z+{\frac {3}{5}}y)^{2}={\frac {9}{25}}y^{2}-{\frac {13}{20}}y^{2}+{\frac {6}{5}}=-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}.$

Daraus ergibt sich

$z=\pm {\sqrt {-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}}}-{\frac {3}{5}}y.$

Dabei ist die Wurzel für ${}-{\sqrt {\frac {120}{29}}}\leq y\leq {\sqrt {\frac {120}{29}}}$ und damit insbesondere für ${}y=-2$ definiert. Da für ${}y=-2$ ja ${}z=1$ sein soll, muss man das negative Vorzeichen nehmen. Somit liefert die Abbildung

$(-{\sqrt {\frac {120}{29}}},{\sqrt {\frac {120}{29}}})\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,y\longmapsto ({\frac {-3y-4(-{\sqrt {-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}}}-{\frac {3}{5}}y)}{2}},y,-{\sqrt {-{\frac {29}{100}}y^{2}+{\frac {6}{5}}}}-{\frac {3}{5}}y)$

eine Bijektion dieses offenen Intervalls mit der offenen Teilmenge der Faser ${}F$ durch ${}P$, die durch ${}F\cap {\left\{(x,y,z)\mid -{\sqrt {\frac {120}{29}}}<y<{\sqrt {\frac {120}{29}}}\right\}}$ gegeben ist. Es ist ein Diffeomorphismus, da diese Abbildung differenzierbar ist und ihre Ableitung wegen der zweiten Komponenten nirgendwo verschwindet.

Zur gelösten Aufgabe