Fehlerintegral/Beispiel

Die Funktion ${}e^{-t^{2}}$ ist nicht elementar integrierbar, d.h., man kann keine geschlossene Stammfunktion mit rationalen Funktionen, Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und ihren Umkehrfunktionen angeben. Es ist

${}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\,,$

was wir hier ohne Beweis mitteilen, siehe Fakt. Durch eine einfache Substitution ergibt sich daraus

${}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$

Dieses Integral nennt man Fehlerintegral; es spielt in der Stochastik eine wichtige Rolle.