Fermat-Kubik/4 Variablen/Standardquadrik/Beispiel

Wir betrachten die durch

${}X^{3}-Y^{3}=Z^{3}-W^{3}\,$

gegebene Quadrik. Wir schreiben dies als

${}(X-Y)(X-\zeta Y)(X-\zeta ^{2}Y)=(Z-W)(Z-\zeta W)(Z-\zeta ^{2}W)\,$

mit einer primitiven dritten Einheitswurzel ${}\zeta$. Wir setzen

${}A=X-Y\,,$

${}B=Z-W\,,$

${}C=X-\zeta Y\,$

und

${}D=Z-\zeta W\,.$

Die Gleichung hat dann die Bauart

${}AC(A+uC)=BD(B+uD)\,$

mit einer Zahl ${}u$. Die Ebenen (projektiv Geraden) ${}V(A,B)$ und ${}V(C,D)$ liegen auf der Varietät. Dies führt zu den rationalen Funktionen

${}{\frac {A}{B}}={\frac {D(B+uD)}{C(A+uC)}}\,$

und

${}{\frac {C}{D}}={\frac {B(B+uD)}{A(A+uC)}}\,.$

Dies führt zur birationalen Abbildung

$\operatorname {Proj} \,R\cdots \longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1},$

die man mit der Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow V_{+}(XY-ZW)\subseteq {\mathbb {P} }_{}^{K},\,(s,t),(u,v)\longmapsto (su,sv,tu,tv),$

verknüpfen kann.