Fermat-Kubik/Straffer Abschluss/Parameterideal/Z in (X,Y)/Beispiel

In

${}R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\,$

über einem Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ ist ${}Z\notin (X,Y)^{*}$. Mit der erzwingenden Gleichung

${}Z=AX+BY\,$

gilt

${}X^{3}+Y^{3}=-Z^{3}=-(AX+BY)^{3}\,$

und daher

${}(1+A^{3})X^{3}+3A^{2}BX^{2}Y+3AB^{2}XY^{2}+(1+B^{3})Y^{3}=0\,$

und die Koeffizienten erzeugen das Einheitsideal in ${}K[A,B]$.