Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt/Beweis2

Sei $m>n$. Es ist unter Nutzung der geometrischen Summenformel

$F_{m}-2=2^{2^{m}}-1=(2^{2^{n}})^{2^{m-n}}-1=-(2^{2^{n}}+1)\sum \limits _{k=0}^{2^{m-n}-1}(2^{2^{n}})^{k}=-F_{n}\cdot \sum \limits _{k=0}^{2^{m-n}-1}(2^{2^{n}})^{k}$.

Sei $d$ ein gemeinsamer Teiler von $F_{m}$ und $F_{n}$. Mit der gezeigten Formel folgt wegen $d\mid F_{n}$ auch $d\mid F_{m}-2$. Es folgt $d\mid F_{m}-(F_{m}-2)=2$. Da jede Fermatzahl ungerade ist, muss $d$ ungerade sein, also letztlich $d=1$.