Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Zwei verschiedene Fermatsche Zahlen ${}F_{m}$ und ${}F_{n}$ sind teilerfremd.

Beweis

Sei ${}m>n$. Dann ist

${}F_{m}-2=2^{2^{m}}-1={\left(2^{2^{n}}\right)}^{2^{m-n}}-1\,.$

Hierbei ist ${}2^{m-n}$ gerade, und daher ist ${}F_{n}=2^{2^{n}}+1$ ein Teiler von dieser Zahl. Das bedeutet, dass ein gemeinsamer Teiler von ${}F_{m}$ und von ${}F_{n}$ auch ein Teiler von ${}F_{m}-2$ ist, also ein Teiler von ${}2$. Da alle Fermat-Zahlen ungerade sind, bleibt nur ${}1$ als gemeinsamer Teiler übrig.

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