Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik p/Annullation/Beispiel

In Beispiel ist ${}X\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{3}$ direkt eingebettet und ebenso ist die Kohomologieklasse ${}c={\frac {W^{2}}{XYZ}}$ schon in der richtigen Form gegeben. Der Grad ist ${}3$, das ist der Schnitt mit einer Geraden ${}=H^{2}$. Es ist aber

${}Wc=0\,.$

Wenn man hingegen in Charakteristik ${}p$ zu

${}c^{p}={\frac {W^{2p}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}\,$

übergeht, so ist dies bei ${}p=2$ gleich ${}0$. Bei ${}p=3s+1$ ist ${}2p=6s+2$ und somit ist dies

${}{\frac {W^{2p}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {W^{2}(W^{3})^{2s}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {W^{2}(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}\,$

und dies ist multipliziert mit ${}W$ gleich

${}{\frac {(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s+1}}{X^{p}Y^{p}Z^{p}}}={\frac {(X^{3}+Y^{3}+Z^{3})^{2s+1}}{X^{3s+1}Y^{3s+1}Z^{3s+1}}}\,.$

Dies enthält beispielsweise den Summanden ${}{\frac {X^{3s}Y^{3s}Z^{3}}{X^{3s+1}Y^{3s+1}Z^{3s+1}}}$ mit dem Vorfaktor ${}{\frac {(2s+1)!}{s!s!}}$, der modulo ${}p$ eine Einheit ist.