Fermatkubik/C/Schnitt mit X+2Y+Z ist 0/Aufgabe/Lösung

Wir ersetzen in ${}X^{3}+Y^{3}+Z^{3}$ die Variable ${}X$ durch ${}X=-2Y-Z$ und erhalten die Gleichung

{}{\begin{aligned}-{\left(2Y+Z\right)}^{3}+Y^{3}+Z^{3}&=-{\left(8Y^{3}+12Y^{2}Z+6YZ^{2}+Z^{3}\right)}+Y^{3}+Z^{3}\\&=-7Y^{3}-12Y^{2}Z-6YZ^{2}\\&=0.\end{aligned}}

Die Lösung ${}Y=0$ führt auf den Punkt ${}\left(1,\,0,\,-1\right)$ . Die Gleichung

{}7Y^{2}+12YZ+6Z^{2}=0\,

bzw. die dehomogenisierte Version ( ${}Y=1$ )

{}7+12Z+6Z^{2}=0\,

bzw.

{}Z^{2}+2Z+{\frac {7}{6}}=0\,

führt auf

{}Z_{2,3}={\frac {-2\pm {\sqrt {4-4\cdot {\frac {7}{6}}}}}{2}}=-1\pm {\sqrt {1-1\cdot {\frac {7}{6}}}}=-1\pm {\sqrt {-1{\frac {1}{6}}}}=-1\pm {\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\,.

Somit ist

{}X_{2}=-2Y_{2}-Z_{2}=-2+1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }=-1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\,

und

{}X_{3}=-2Y_{3}-Z_{3}=-2+1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }=-1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\,.

Die drei Schnittpunkte sind also

(1,0,-1),\,\left(-1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} },\,1,\,-1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\right){\text{ und }}\left(-1+{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} },\,1,\,-1-{\sqrt {\frac {1}{6}}}{\mathrm {i} }\right).