Fixpunktsatz/Einstellig/Vielfache/Gödelnummern/Aufgabe

Es sei ${}k$ eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei

${}\alpha (x):=\exists y{\left(x=ky\right)}\,,$

wobei ${}ky$ als die ${}k$-fache Addition von ${}y$ mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz ${}q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit

$PA\vdash \alpha (GN(q))\leftrightarrow q$

gibt.

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