Fixpunktsatz/x ist n/Fixpunkt/Gültigkeit in N/Aufgabe/Lösung

Es gibt unendlich viele arithmetische Sätze, die bei der Interpretation in ${}\mathbb {N}$ gültig sind und unendlich viele arithmetische Sätze, die bei der Interpretation in ${}\mathbb {N}$ ungültig sind. Insbesondere gibt es solche Sätze, deren Gödelnummer nicht ${}n$ ist. Es sei nun ${}p$ ein in ${}\mathbb {N}$ ungültiger Satz, dessen Gödelnummer nicht ${}n$ ist. Dann ist

$\mathbb {N} \vDash \neg \alpha (GN(p))\,\,{\text{ und }}\,\,\mathbb {N} \vDash \neg p,$

also

$\mathbb {N} \vDash \alpha (GN(p))\leftrightarrow p.$

Wenn hingegen ${}q$ ein in ${}\mathbb {N}$ gültiger Satz ist, dessen Gödelnummer nicht ${}n$ ist, so ist

$\mathbb {N} \vDash \neg \alpha (GN(q))\,\,{\text{ und }}\,\,\mathbb {N} \vDash q,$

also

$\mathbb {N} \vDash \neg \alpha (GN(q))\leftrightarrow q.$

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