Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(xy,x^2-y^3)/Aufgabe/Lösung
- Wir betrachten das Gleichungssystem
und müssen zeigen, dass durch eindeutig bestimmt ist. Wegen ist . Es gilt
und
Daraus ergibt sich
bzw.
Bei gegebenem ist diese Funktion in streng wachsend, daher gibt es maximal ein , das diese Gleichung erfüllt. Dadurch ist auch eindeutig bestimmt.
- Die Jacobi-Matrix ist
mit der Determinante
Auf ist dies überall negativ, daher liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor.
- Für
ist
also ist .
- Der Flächeninhalt ist nach
Fakt
gleich