Flächeninhalt/Bild eines Rechtecks/(xy,x^2-y^3)/Aufgabe/Lösung


  1. Wir betrachten das Gleichungssystem

    und müssen zeigen, dass durch eindeutig bestimmt ist. Wegen ist . Es gilt

    und

    Daraus ergibt sich

    bzw.

    Bei gegebenem ist diese Funktion in streng wachsend, daher gibt es maximal ein , das diese Gleichung erfüllt. Dadurch ist auch eindeutig bestimmt.

  2. Die Jacobi-Matrix ist

    mit der Determinante

    Auf ist dies überall negativ, daher liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor.

  3. Für ist

    also ist .

  4. Der Flächeninhalt ist nach Fakt gleich