Folge/Summe ungerade Zahlen/Summe gerade Zahlen/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist. Für ${}n$ gerade ist

${}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n-1}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n}}\\&={\frac {{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n}{2}}\right)}{{\left({\frac {n}{2}}\right)}+1}},\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für ${}n$ ungerade ist

${}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {1+3+\cdots +n}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{2+4+\cdots +n-1}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}+{\frac {n+1}{2}}-{\left(n+1\right)}}}\\&={\frac {{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {n+1}{2}}}}\\&={\frac {\left({\frac {n+1}{2}}\right)}{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}-1}},\end{aligned}}$

wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen

(gerade bzw. ungerade Glieder) konvergieren gegen ${}1$ und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe