Wir schreiben
1. Wir erlauben auch reelle Argumente, d.h. wir betrachten die Funktion
-
und zeigen, dass diese Funktion für fallend ist; dies gilt dann insbesondere für die natürlichen Zahlen . Da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist, genügt es zu zeigen, dass
-
für fallend ist. Dazu ziehen wir
Fakt
heran und betrachten die Ableitung der differenzierbaren Funktion . Diese ist
Für ist und somit ist der Zähler negativ, also ist die Funktion negativ.
2. Wir zeigen, dass für gegen konvergiert. Wegen der Monotonie aus Teil 1 kann man statt auch einsetzen, was zur Folge führt. Für diese Folge gilt
ihr Grenzwert ist nach dem Quetschkriterium also
. Da die Exponentialfunktion stetig ist, konvergiert somit
gegen
.