Folgen/Summenfolge und Quotient/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

1. Es sei

   ${}x_{n}=n^{2}+n\,$

   und

   ${}y_{n}=n^{2}\,$

   für ${}n\geq 1$. Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {n^{2}+n}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}\,.$

   Dies konvergiert gegen ${}1$. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}=n^{2}+n-n^{2}=n\,$

   konvergiert nicht.

2. Es sei

   ${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

   und

   ${}y_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,.$

   Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\frac {1}{n}}{\frac {1}{n^{2}}}}={\frac {n^{2}}{n}}=n\,.$

   Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}\,$

   konvergiert gegen ${}0$, da beide Folgen Nullfolgen sind.

3. Wir schreiben

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,,$

   wobei ${}z_{n}$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}&={\frac {y_{n}+z_{n}}{y_{n}}}\\&=1+{\frac {z_{n}}{y_{n}}}.\end{aligned}}$

   Dabei ist

   ${}\vert {\frac {z_{n}}{y_{n}}}\vert =\vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{y_{n}}}\vert \leq \vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{a}}\vert \,$

   eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen ${}1$.

Zur gelösten Aufgabe