Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen von Potenzreihen mit Konstante null/Definition

Einsetzen von Potenzreihen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$ eine Potenzreihe. Es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch

${}c_{k}=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\,$

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten ${}s$-Tupel ${}(j_{1},\ldots ,j_{s})\in \mathbb {N} _{+}^{s}$ summiert.