Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung
-
die eine Potenzreihe
auf ihren konstanten Term schickt, ein
Ringhomomorphismus
ist, siehe
Aufgabe.
Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe
mit
-

angeben. Für
ergibt sich daraus die Bedingung
,
die wegen
eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich
.
Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten
für
schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten
,
, der Produktreihe
gleich
sind. Für den
-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung
-

Dabei sind bis auf
alle Werte schon festgelegt, und wegen
ergibt sich eine eindeutige Lösung für
.