Formales Ableiten/Produktregel/Aufgabe/Lösung

Die Produktregel besagt

$(F\cdot G)'=F\cdot G'+F'\cdot G.$

Nach Definition ist die Ableitung ${}F\mapsto F'$ eine ${}K$-lineare Abbildung. Deshalb und aufgrund des Distributivgesetzes sind für festes ${}G$ die Abbildungen

$F\longmapsto F\cdot G\longmapsto (F\cdot G)',$

$F\longmapsto F\cdot G'$

und

$F\longmapsto F'\cdot G$

${}K$-linear. Da jedes ${}F$ eine eindeutige Darstellung als ${}K$-Linearkombination mit den Potenzen

${}X^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, besitzt, genügt es, die Aussage für ${}F=X^{n}$ zu zeigen. Die gleiche Überlegung zeigt, dass man lediglich ${}G=X^{m}$ betrachten muss. Dann gilt einerseits

${}(X^{n}\cdot X^{m})'=(X^{n+m})'=(n+m)X^{n+m-1}\,$

und andererseits

${}{\begin{aligned}X^{n}\cdot (X^{m})'+(X^{n})'\cdot X^{m}&=mX^{n}X^{m-1}+nX^{n-1}X^{m}\\&=mX^{n+m-1}+nX^{n+m-1}\\&=(n+m)X^{n+m-1},\end{aligned}}$

so dass Gleichheit gilt.

Zur gelösten Aufgabe