Formen/Untersuche auf Bilinearität/1/Aufgabe/Kommentar

Für Bilinearität müssen wir eintragsweise Linearität zeigen, das heißt, sowohl für festes ${}y\in \mathbb {R} ^{2}$ muss

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \varphi (x,y)$

linear sein als auch für festes ${}x\in \mathbb {R} ^{2}$ muss

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto \varphi (x,y)$

linear sein. Für die erste Funktion ${}\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}$ folgt dies direkt aus dem Distributivgesetz, denn für beliebiges, festes ${}y\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt für alle ${}a,b\in \mathbb {R}$ und ${}x,w\in \mathbb {R} ^{2}$

$\varphi (ax+bw,y)=(ax+bw)_{1}y_{1}=(ax_{1}+bw_{1})y_{1}$

$=ax_{1}y_{1}+bw_{1}y_{1}=a\varphi (x,y)+b\varphi (w,y).$

Für den zweiten Eintrag folgt die Linearität analog.

Die Symmetrie ist durch die Kommutativität der Multiplikation gegeben, denn

$\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}=y_{1}x_{1}=\varphi (y,x).$

Da wir eine symmetrische Bilinearform haben, welche nicht die Nullform ist, ist sie auch nicht alternierend. Dazu ist sich klar zumachen, dass eine alternierende Bilinearform eine antisymmetrische Bilinearform ist, d.h. ${}\varphi (x,y)=-\varphi (y,x)$ und Symmetrie und Antisymmetrie nur bei der Nullform zuammen geht. Warum ist das so? Dass die Antisymmetrie aus der Eigenschaft alternierend zu sein folgt, ist folgendermaßen zu sehen. Dadurch, dass eine alternierende Bilinearform null ist, falls zwei Einträge gleich sind, gilt durch Ausnuzten der Bilinearität

$\varphi (x,y)+\varphi (y,x)=\varphi (x+y,x)+\varphi (x+y,y)=\varphi (x+y,x+y)=0.$

Demnach ist ${}\varphi (x,y)=-\varphi (y,x)$, also wird das Vorzeichen bei Tausch der beiden Einträge gewechselt. Das ist für Bilinearformen die Antisymmetrie.

Auch für Multilinearformen kann auf gleicher Art gezeigt werden, dass aus der Eigenschaft alternierend zu sein folgt, dass sich das Vorzeichen wechselt, wenn zwei Einträge getauscht werden. Das typische Beispiel einer alternierdenden Multilinearform ist die Determinante, bei der sich das Vorzeichen nach Tauschen zweier Spalten ändert.

Zur kommentierten Aufgabe