Fourier-Matrix/Inverse Matrix/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden die Regel „Zeile mal Spalte“ auf die Zeile ${}r$ und die Spalte ${}s$ an (wir arbeiten konsequent mit der Indexmenge ${}\{0,\ldots ,N-1\}$), dies ergibt den Eintrag

${}{\begin{aligned}&a_{r,s}\sum _{j=0}^{N-1}\zeta ^{rj}\cdot {\overline {\zeta ^{js}}}\\&=\sum _{j=0}^{N-1}\zeta ^{rj}\cdot \zeta ^{-js}\\&=\sum _{j=0}^{N-1}\zeta ^{(r-s)j}.\end{aligned}}$

Dies ist gleich ${}N$ bei ${}r=s$ und andernfalls gleich ${}0$ nach der endlichen geometrischen Reihe.

Zur bewiesenen Aussage