Fourier-Transformation/Ableitungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Mit Induktion genügt es, die Aussage für ${}D_{1}$ zu zeigen. Unter Verwendung von Fakt, angewendet auf das Maß ${}fd\lambda ^{n}$ und die Funktion ${}{\mathfrak {t}}\mapsto e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }$, ist

${}{\begin{aligned}{\left(D_{1}{\hat {f}}\right)}{\left({\mathfrak {u}}\right)}&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}D_{1}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\left(-{\mathrm {i} }\right)}{\mathfrak {t}}_{1}{\left(e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }\right)}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\left(-{\mathrm {i} }{\mathfrak {t}}_{1}f\right)}^{\hat {\,}}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage