Fourier-Transformation/Eindimensional/Kreis mit Radius/Interpretation/Bemerkung

Sei ${}n=1$. Es ist dann

${}{\begin{aligned}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }&=e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}\\&=\cos \left(-{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)+{\mathrm {i} }\sin \left(-{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\\&=\cos \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)-{\mathrm {i} }\sin \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\end{aligned}}$

ein Element des komplexen Einheitskreises. Wenn man ${}{\mathfrak {u}}$ fixiert und ${}{\mathfrak {t}}$ varieren lässt, handelt es sich um eine Bewegung auf dem komplexen Einheitskreis, wobei ${}{\mathfrak {u}}$ angibt, mit welcher Frequenz der Kreis durchlaufen wird. Wenn zusätzlich eine ${}\mathbb {R} _{\geq 0}$-wertige Funktion gegeben ist, so kann man den Integranden in der Fouriertransformation

${}e^{-{\mathrm {i} }\left\langle {\mathfrak {u}},{\mathfrak {t}}\right\rangle }f({\mathfrak {t}})=f({\mathfrak {t}}){\left(\cos \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)-{\mathrm {i} }\sin \left({\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}\right)\right)}\,$

so verstehen, dass eine durch ${}{\mathfrak {u}}$ getakte Kreisbewegung mit dem variablen Radius ${}f({\mathfrak {t}})$ durchgeführt wird. Das Integral dieser Bewegung über ${}{\mathfrak {t}}\in \mathbb {R}$ berechnet den durchschnittlichen Aufenthaltsort der Bewegung. Dass ein solcher Durchschnitt existiert, setzt voraus, dass ${}f$ integrierbar ist, also abklingt, für ${}{\mathfrak {t}}\rightarrow \pm \infty$ geht der Radius gegen ${}0$. Man erwartet im Allgemeinen, dass dieser durchschnittliche, über die Zeit gemittelte, Aufenthaltsort nahe beim Nullpunkt liegt, da sich ja die verschiedenen Auslenkungen bei einem Kreisumlauf, wenn der Radius sich dabei nicht stark ändert, weitgehend wegheben. Wenn es hingegen eine gewisse Synchronizität zwischen der Kreisbewegung und der Auslenkungsbewegung gibt, so erwartet man, dass der Durchschnittswert diese Auslenkung widerspiegelt.