Fourier-Transformation/Indikatorfunktion/Intervall/Beispiel

Sei ${}a>0$ fixiert und sei ${}f$ die Indikatorfunktion zum Intervall ${}[-a,a]$. Dann ist für ${}{\mathfrak {u}}\neq 0$

${}{\begin{aligned}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-a}^{a}e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \left({\frac {-1}{{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}\right)|_{-a}^{a}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}\cdot {\left(-e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}a}+e^{{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}a}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {2\sin \left(a{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {u}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}}\cdot {\frac {\sin \left(a{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {u}}}.\end{aligned}}$

Bei ${}{\mathfrak {u}}=0$ ist direkt ${}{\hat {f}}(0)={\frac {{\sqrt {2}}a}{\sqrt {\pi }}}$, was sich auch bei stetiger Fortsetzung des allgemeinen Ausdrucks ergibt.