Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Umkehrsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden die Hilfsfunktionen

wobei wir hier mit die Summennorm von bezeichnen. Es ist unter Verwendung von Beispiel

Nach Fakt angewendet auf und ergibt

Daher ist auch mit der Substitution

Wir untersuchen nun das Grenzwertverhalten dieser Gleichung für . Die linke Seite wird dabei nach Fakt (mit der Majorante ) zu . Die rechte Seite wird aus dem gleichen Grund und wegen der Stetigkeit von zu . Nach dem Satz von Fubini und Aufgabe ist dies gleich . Also ist insgesamt