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Fourier-Transformation/Rechtsseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel
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Es sei
a
>
0
{\displaystyle {}a>0}
fixiert. Wir betrachten die Funktion
f
(
t
)
=
{
e
−
a
t
für
t
≥
0
0
sonst
.
{\displaystyle {}f({\mathfrak {t}})={\begin{cases}e^{-a{\mathfrak {t}}}{\text{ für }}{\mathfrak {t}}\geq 0\\0{\text{ sonst}}\,.\ \end{cases}}\,}
Es ist
f
^
(
u
)
=
1
2
π
∫
R
e
−
i
u
t
f
(
t
)
d
t
=
1
2
π
∫
0
∞
e
−
i
u
t
e
−
a
t
d
t
=
1
2
π
∫
0
∞
e
−
(
a
+
i
u
)
t
d
t
=
1
2
π
⋅
(
−
1
a
+
i
u
e
−
(
a
+
i
u
)
t
)
|
0
∞
=
1
2
π
⋅
1
a
+
i
u
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\hat {f}}({\mathfrak {u}})&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}f({\mathfrak {t}})d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}{\mathfrak {t}}}e^{-a{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\left(a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {t}}}d{\mathfrak {t}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \left({\frac {-1}{a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}e^{-{\left(a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}\right)}{\mathfrak {t}}}\right)|_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {1}{a+{\mathrm {i} }{\mathfrak {u}}}}\end{aligned}}}