Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe/Lösung

1. Es fallen insgesamt ${}11$ Tore, die Torreihenfolge ist festgelegt, wenn man weiß, welche Tore davon von München erzielt wurden. Also ist die Anzahl der Möglichkeiten gleich

   ${}{\binom {11}{3}}={\frac {11\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 2}}=11\cdot 5\cdot 3=165\,.$

2. Bei jeder der ${}165$ Torreihenfolgen gibt es für die Pause ${}12$ Möglichkeiten (vor dem ersten Tor, nach dem ersten Tor, nach dem zweiten Tor, ..., nach dem elften Tor), also ist die Anzahl gleich

   ${}12\cdot 165=1980\,.$

3. Für jede der ${}165$ Torreihenfolgen muss man noch festlegen, in welchen Minuten die Tore fielen. Für diese Torminuten gibt es ${}{\binom {90}{11}}$ Möglichkeiten, also gibt es ${}165\cdot {\binom {90}{11}}$ Möglichkeiten für den Spielverlauf im beschriebenen Sinn.
4. Da Stuttgart stets (bis auf den Anfang) in Führung liegt, muss Stuttgart das erste und das zweite Tor erzielen. Wir berechnen die Möglichkeiten je nachdem, ob Stuttgart genau die ersten zwei Toren, genau die ersten drei Tore oder zumindest die ersten vier Tore erzielt. Stuttgart erzielt genau die ersten beiden Tore. Dann erzielt München das dritte Tor und es steht ${}2:1$. Wegen der Führungseigenschaft erzielt Stuttgart das vierte Tor und es steht ${}3:1$. Für den weiteren Torverlauf gibt es somit ${}{\binom {7}{2}}=21$ Möglichkeiten, und davon ist nur der Fall ausgeschlossen, dass München die beiden folgenden Tore schießt. Also gibt es in diesem Fall ${}20$ Möglichkeiten. Stuttgart erzielt genau die ersten drei Tore. Dann erzielt München das vierte Tor und es steht ${}3:1$. In diesem Fall gibt es dann wieder ${}20$ Möglichkeiten. Stuttgart erzielt die ersten vier Tore. Dann ist bei jedem weiteren Torverlauf die Führungseigenschaft erfüllt. Davon gibt es ${}{\binom {7}{3}}=35$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

   ${}20+20+35=75\,$

   mögliche Torreihenfolgen, die die Führungsbedingung erfüllen.

Zur gelösten Aufgabe