Funktion/K/Grenzwert/Charakterisierungen/Fakt

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und sei ${}a\in {\mathbb {K} }$ ein Punkt. Es sei ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ eine Funktion und ${}b\in {\mathbb {K} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b.$

2. Für jedes ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass für alle ${}x\in T$ mit ${}d(x,a)\leq \delta$ die Abschätzung ${}d(f(x),b)\leq \epsilon$ folgt.

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