Funktion/Minimum/2^x+(1/3)^x/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}{\begin{aligned}f(x)&=2^{x}+3^{-x}\\&=e^{x\ln 2}+e^{-x\ln 3}.\end{aligned}}$

Zur Bestimmung der Extrema betrachten wir die Ableitung, diese ist

${}f'(x)=(\ln 2)e^{x\ln 2}-(\ln 3)e^{-x\ln 3}\,.$

Die Bedingung ${}f'(x)=0$ führt durch Multiplikation mit ${}e^{x\ln 3}$ auf

${}0=(\ln 2)e^{x(\ln 2+\ln 3)}-\ln 3\,.$

Daher muss

${}e^{x\ln 6}={\frac {\ln 3}{\ln 2}}\,$

sein, woraus sich

${}x\ln 6=\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}\,,$

also

${}x={\frac {\ln {\left({\frac {\ln 3}{\ln 2}}\right)}}{\ln 6}}\,$

ergibt. Die zweite Ableitung ist

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(\ln 2)^{2}e^{x\ln 2}+(\ln 3)^{2}e^{-x\ln 3}\\\end{aligned}}$

und somit positiv, also liegt im angegebenen Punkt ein isoliertes lokales Minimum vor.

Zur gelösten Aufgabe