Funktion/R^n/Eckintegralfunktion/Eigenschaften/Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ betrachten wir (für ${}(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} _{\geq a_{1}}\times \cdots \times \mathbb {R} _{\geq a_{d}}$) die Abbildung

${}F(x_{1},\ldots ,x_{d}):=\int _{[a_{1},x_{1}]\times \cdots \times [a_{d},x_{d}]}fd\lambda ^{d}\,.$

a) Es sei ${}f$ stetig. Zeige

${}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{d}}}F=f\,$

b) Wie ist ${}F(x_{1},\ldots ,x_{d})$ für beliebige ${}x\in \mathbb {R} ^{d}$ zu definieren?

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