Funktion/R/Grenzwert/Epsilon/Definition

Grenzwert einer Funktion

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für jedes ${}x\in T$ aus

${}\vert {x-a}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon \,$

folgt. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$