Funktion/Streng wachsend/Identisch auf Q/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die beiden Funktionen

$f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{falls }}x<{\sqrt {2}}\,,\\x+1,\,{\text{falls }}x\geq {\sqrt {2}}\,,\end{cases}}$

und

$g(x)={\begin{cases}x,\,{\text{falls }}x\leq {\sqrt {2}}\,,\\x+1,\,{\text{falls }}x>{\sqrt {2}}\,.\end{cases}}$

Beide Funktionen sind streng wachsend und stimmen auf ${}\mathbb {R} \setminus \{{\sqrt {2}}\}$ und insbesondere auf ${}\mathbb {Q}$ überein. Es ist aber ${}f({\sqrt {2}})\neq g({\sqrt {2}})$, so dass die beiden Funktionen verschieden sind.

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