Funktionen/X Sinus Kosinus/Linear unabhängig/Aufgabe/Lösung

Die Funktionen sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit vorliegen würde, so gelte

${}af+bg+ch=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, nicht alle ${}0$. Dies gilt dann auch an jeder Stelle ${}P\in \mathbb {R}$. Wir betrachten die Stellen

${}P=0,{\frac {\pi }{2}},\pi \,.$

Die Werte der drei Funktionen an diesen Stellen sind

${}P$	${}f(P)$	${}g(P)$	${}h(P)$
${}0$	${}0$	${}0$	${}1$
${}{\frac {\pi }{2}}$	${}{\frac {\pi }{2}}$	${}1$	${}0$
${}\pi$	${}\pi$	${}0$	${}-1$

Die angenommene lineare Abhängigkeit bedeutet somit, dass die Spalten der Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&1\\{\frac {\pi }{2}}&1&0\\\pi &0&-1\end{pmatrix}}$

linear abhängig sind und ihre Determinante ${}0$ sein muss. Die Entwicklung nach der ersten Zeile zeigt aber, dass die Determinante den Wert ${}-\pi$ hat.

Zur gelösten Aufgabe