Funktionenfolge/-1 durch n/Beschreibung des Supremums/Abweichung/Beispiel

Wir betrachten die konstante Funktionenfolge ${}f_{n}:=-{\frac {1}{n}}$ (${}n\in \mathbb {N} _{+}$) auf einer beliebigen Menge ${}M$. Deren Supremum ist die ${}0$-Funktion. Dabei ist

${}{\left\{x\in M\mid {\operatorname {sup} \,(f_{n},n\in \mathbb {N} _{+})}(x)\geq 0\right\}}=M\,,$

aber

${}\bigcup _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\left\{x\in M\mid f_{n}(x)\geq 0\right\}}=\emptyset \,,$

d.h. ohne den Durchschnitt über ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit dem Abweichungsterm ${}-{\frac {1}{k}}$ ist die Gleichung im Beweis zu Fakt nicht richtig.